Estas
losas se identifican por tener un diseño de acero en sus dos direcciones, en el
eje de coordenadas, estas placas pueden ser de un tramo o continuas, el
análisis y diseño de estos entrepisos según la teoría de cuerpos elásticos, se
desarrollan métodos matemáticos complejos que reflejan el comportamiento o el
trabajo de estos elementos.
En la resolución de estos miembros
se aplican varios métodos simplificados que permiten abordar con bastante
aproximación los casos más comunes en la práctica, estos métodos están, método
de Henry Marcus es uno de los más usados para la resolución de placas de
entrepisos.
Las
placas se analizan como si fuese formada por una sucesión de franjas o bandas
unitarias cruzadas paralelas a los lados , que soportan uniformemente las
cargas distribuidas y apoyadas en vigas perimetrales, en los casos más
elementales de placas simplemente apoyada en todo son contorno, donde se
analizan el comportamiento de dos bandas centrales de ancho unitario,
cruzándose de forma ortogonal.
Las franjas son paralelas de forma
respectiva a los lados de la losa Lx y Ly soportando en conjunto a la totalidad
de las cargas puestas sobre si, esta fracción de carga se designa qx es la carga total que es resistida por la
franja de dirección x y qy se rige por la dirección y. el método de Henry
Marcus determina en función de las luces y la magnitud de las cargas
uniformemente distribuidas, los valores
correspondientes a qx y a qy y así están los momentos flectores máximos
positivos en la luz de los tramos y las reacciones en los apoyos.
En teoría es evidente que en el cruce de las franjas se produce
la máxima deflexión pues corresponde a una única sección de la palca donde está
la mayor interacción de fuerzas.
La elasticidad por la inercia no es el mismo en ambas
direcciones consideradas, debido a la altura d varia , ya que las barras en una
dirección van superpuestas a la de la dirección ortogonal, esto hace varias el
momento de inercia respectivo, ambos valores son muy cercanos se acepta en la
práctica un único momento de inercia para ambas direcciones.
Se despeja la ecuación anterior
y se sustituye en la ecuación de las cargas en ambas direcciones
teniendo que.
Se
despeja en consecuencia y se obtiene.
Esta carga que se obtiene para cada dirección representa la carga
en cada franja. Sacando una variable para la relación de las luces en las
placas.
Es la parte de la carga que corresponde a cada dirección, para
las franjas cruzadas resulta.
Los
valores de x dependen d la relación de las luces y la forma de sustentación de
la placa, las distintas formas de apoyo de una placa se indicas en la siguiente
tabla con sus valores de x.
Con
línea llena representa un apoyo simple.
Con
línea rallada para empotramiento perfectos o por continuidad de un placa.
Los valores de x para diferentes relaciones de las luces,
esto evidencia que si aumenta la relación de los lados incrementa el valor de
x.
X
= 0 para λ < 0.5 y x = 1 para λ > 2, lo cual indicara que la totalidad de
las cargas se trasmite en la dirección corta de la placa, cuando no se cumple
la condición primaria esta comienza a trabajar como una losa es decir d manera
unidireccional. En caso de dos franjas centrales ortogonales estuvieran
independientes de la placa los momentos flectores de las dos direcciones se
obtiene de la siguiente forma.
Momento
en la franja x y y.
Pero en la
práctica las franjas no estas aisladas de la losa, sino que se encuentran
conectadas con todas las restantes franjas que forman la placa, que actúan
paralelamente en ambas direcciones, estas franjas de ancho unitario se
sustentas no por sus extremos apoyados en las vigas sino que también en las
franjas ortogonales, provocando cierto impedimento a su libre deflexión. En
efecto esta analiza el comportamiento de las dos franjas ortogonales, en la
siguiente figura se nota que la sección de contacto I, la deformación por
flexión de una de ellas provoca torsión en las demás, y viceversa, logrando
separar estas franjas y analizarlas de
forma independiente su deformación seria por flexión.
Si se flecta libremente una franja la sección rota en
el sentido horario con un ángulo θ con respecto a su posición no deformada, esta
deformación por flexión torsionara la franja ortogonal, si los extremos de esta
franja trosionada rotaria con e el mismo ángulo θ, girando en torsión
libremente. Pero si los extremos de esta franja están fijos esta ofrece una
resistencia y disminuye la magnitud de la deformación por flexión, se reduce el
ángulo θ, en consecuencia la franja primeramente fletada por efecto si la torsión
se alivia su momento su momento flector.
Se puede relacionar la torsión de la franja fletada
alivianando la flexión de la franja ortogonal, si se disminuye el ángulo
producido por la deformación a flexión, se puede deducir que los momentos
flectores en una franja originan torsión en las franjas ortogonales, por lo
tanto la carga es llevada a los apoyos no solo por flexión sino también por
torsión.
La reducción de los momentos flectores por efecto de la
torsión, es conocido como efecto de placa o acción de aliviamiento este ha sido
analizado por investigadores como Henry marcus, según los resultados obtenidos
esta reducción puede llegar al 28% para placas simplemente apoyadas y al 35%
para las empotadas en todo su contorno. Los momentos flectores máximos en las
dos direcciones se calculas en la siguiente ecuación.
α y β
son los coeficientes que se definen con las condiciones de apoyo de las placas,
cuando los bordes son simplemente apoyados la distorsión provocada por la
torsión en las placas genera el efecto del levantamiento de las esquinas. Para
resistirlo las placas son armadas convenientemente al caso de la figura
siguiente, con acero adicional de refuerzo en ambas caras de la placa, esa
distancia será un quinto dela longitud del tramo con mayor luz, esta armadura
es similar a la que se coloca en el centro de la placa y son orientadas de
forma paralela a los bordes o a 45 grados para absorber esfuerzos de tracción y
compresión.
Las reacciones en las vigas perimetrales pueden
calcularse según dos criterios diferentes, el primero se grafica en la primera
figura según una distribución triangular de la carga en los lados más cortos y
trapezoidal en los más largos. El segundo es considerado por el método de
franjas donde las estudia de forma independiente con cargas uniformemente distribuidas
simplemente apoyadas en sus extremos o empotradas en este caso qx y qy se
obtienen para cada dirección.
Para los entrepiso se aplica el método de Marcus se usa
criterio de carga las placas continuas con las sobre cargas vivas
alternadamente, en forma de damero para obtener los momentos máximas positivos
en las diferentes placas. Los momentos máximos se calculan para placas continuas
aplicando sobrecargas vivas en forma más favorable, ejemplificando, si se necesita
hallar el momento máximo M+ en placa a de la figura, se cargara la misma con el
total de las cargas permanentes y accidentales descargando las cuatro placas
adyacentes, de las sobrecargas vivas, el resto de la placa se carga pero como forma
de damero indicando que las rayadas son las áreas donde se aplica la carga
total y el blanco solo las cargas permanentes.
Al determinar el momento máximo negativo en un apoyo
intermedio, se deben cargar al máximo las dos placas pegadas y descargar las
placas circulantes, este valor de M- se halla fácilmente y corresponde a los
casos dos y tres. El cálculo de los momentos positivos en las diferentes placas
con el método de Marcus se usa el siguiente procedimiento.
Aplicando en todas las placas un carga q’ CP+CV/2, de
forma que en los apoyos intermedios no se produzcan rotaciones de la tangente a
la elasticidad de deformación como el caso dos.
De forma alterna se aplica una carga q’’ = +- CV/2 con
sentidos contrarios en los tramos adyacentes, permitiendo la libre rotación de
la tangente elástica en los apoyos en forma similar al caso uno.
Sumando estos dos efectos para las diferentes
posibilidades de apoyo que existen se obtienen los momentos máximos positivos
para las dos direcciones.
El 1 en las constantes son para placas simplemente
apoyadas mientras que el subíndice n se refiere a la forma de sustentación
correspondientes a los casos 2 y 6 de la tabla.
Si las condiciones de apoyo de las placas indican en la
parte superior de la tabla del cálculo de Marcus se debe utilizar los
coeficientes α y β y x correspondientes
al caso λ = Ly/Lx.
Lascondiciones de apoyo son las de la parte inferior de
esta tabla los casos 2’, 3’y 5’ se debe sustituir por λ’= Lx/Ly y leer los
respectivos coeficientes α’, β’
y x’. para x’=1-x.
Los espesores masa comunes en la placas impuestos por
razones de deformabilidad con el
propósito de que las flechas que se produzcan en servicio no superen
determinados límites.
Ln es laluz mayor, según la ACI el espesor de las losas
cruzadas no debe ser inferior de L/10 del perímetro ni menor a 9 cm. La
relacion de la luz libre en la dirección larga a la
luz libre en la dirección
corta de la placa y βs
la relación de la longitud de los bordes continuos al perímetro total de un
panel de la placa. Estos valores se aplican a la placa de mayores dimensiones
en los entrepisos. Las armaduras en las placas inferior debe ser la que se
coloca en la dirección cuyo momento flector es máximo, por lo tanto la altura
útil corresponde a la dirección ortogonal se ve disminuida con respecto a la
armadura inferior en una magnitud igual a la distancia entre ambas barras.
En las zonas simplemente apoyada se aconseja levantar la
mitad de las barras en la zona próxima a los apoyos, para tomar en cuenta la
posibilidad de momentos negativos producidos por un empotramiento parcial en la
viga perimetral, esta distancia es L/10, en las placas simplemente apoyadas es
permitido minimizar el número de barras en ambas direcciones a la mitad de su
valor en una distancia igual a la luz menor L/4.
La armadura por flexión indica en las placas simplemente
apoyadas con esquinas libres se coloca la armadura por torsión con esto se
evita el efecto esquina provocado por el levantamiento delas puntas y el
agrietamiento del concreto en los bordes.
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