MÉTODO DE TRABAJO VIRTUAL PARA CALCULO ESTRUCTURAL

El principio de los trabajos virtuales se basan en el análisis de la conservación de la energía de los cuerpos, la aplicación de estos métodos es diversa dentro del ámbito mecánico, en el cálculo estructural se aplica para la determinación de los desplazamientos y las fuerzas en los puntos de los cuerpos prismáticos.

Cuando un cuerpo está en estado natural se cumple la teoría del equilibrio de un cuerpo y que los desplazamientos deben satisfacer la compatibilidad del elemento, en resumen la condición de equilibrio formula que las cargas externas tengan relación con las cargas internas y la compatibilidad establece que los desplazamientos externos estén relacionados con las deformaciones internas.

Los cuerpos deformables se les aplica cargas externas denominada P, esto a su vez generaran cargas internas en el cuerpo denotadas con la letra u, en estos caso la resolución de estas magnitudes externas e internas se relacionan con las ecuaciones fundamentales del equilibrio, los cuerpos por ser deformables cuando es superado su límite resistente las cargas externas se desplazan a ∆ y las cargas sufrirán desplazamientos δ, los materiales no siempre deben tener un comportamiento elástico por lo que los desplazamientos no siempre se relacionan con las cargas. Pero sin embargo los desplazamientos externos y los internos correspondientes se definen de la misma forma.

       El principio de los trabajos virtuales son aplicados para determinar los desplazamientos en cualquier punto de un cuerpo deformable, teóricamente los cuerpos en estado de coacción son sometidos a cargas de distintas magnitudes en puntos diferentes, denominado cargas reales P1, P2 y P3, estas cargas no desplazan los apoyos, pero deforman generan deformaciones que superan el límite elástico de un cuerpo. Para determinar los desplazamientos ∆ en un punto A de un elemento, causado por las cargas, es necesario aplicar los conocimientos del principio de la conservación de energía, en punto A no hay una fuerza que actué de forma directa por lo que el desplazamiento es desconocido.

            

     Cuando se quiere conocer el desplazamiento de un punto se debe aplicar una carga imaginaria o virtual, P’ sobre el punto en específico, esta carga es aplicada antes de que el cuerpo sea estudiado con las cargas reales. La carga P’ es de valor unitario, es decir, P’=1 se denomina virtual para caracterizarla como una carga imaginaria que no existe en el mundo real.

La aplicación de una carga virtual externa genera a su vez una carga virtual interna, esto refiere que existe una relación de la P’ y la u mediante las ecuaciones de equilibrio, las deformaciones de este cuerpo en este sistema virtual son originados por esas cargas, posteriormente luego de aplicar el trabajo virtual se procede a realizar un análisis real con P1, P2 y P3, y el punto A se desplazara una distancia real ∆. El resultado de la fuerza P’ y la carga interna u recorren, ∆ y dL respectivamente, en consecuencia estas cargas efectúan el trabajo virtual externo 1*∆ y el trabajo virtual interno u*dL, en el elemento solo si es considerado los principios de conservación de energía. En toda consideración el trabajo virtual externo será igual al trabajo virtual interno.  

P’=1= Carga unitaria externa que actúa en dirección de ∆.

u= Carga virtual interna que actúa en el elemento.

∆= Desplazamiento externo causado por las cargas reales.

dL= Desplazamiento interno del elemento en dirección de u, causado por las cargas reales.

         Los desplazamiento no solo se presentan de forma lineal, si no que también se consideran los desplazamientos rotacionales, se aplica en el punto un momento ficticio M’ con magnitud unitaria, este momento genera un momento interno denominado uθ, suponiendo que las cargas reales deforma el elemento una cantidad dL la rotación se puede determinar.

M’= 1 = Momento unitario virtual externo que actúa en dirección a θ.

uθ= Carga virtual interna que actúa sobre el elemento.

θ= Desplazamiento rotativo externo en radianes, causado por las cargas reales.

dL= Desplazamiento interno del elemento en dirección de uθ causado por ls cargas reales.

        El principio de los trabajos virtuales se aplica un método conocido como “método de las fuerzas virtuales” debido a que se aplica una carga virtual que resulta en el cálculo de un desplazamiento real, los cuerpos son de comportamiento elástico lineal, el esfuerzo no debe superar el límite de proporcionalidad. Las ecuaciones del trabajo virtual causadas esfuerzos, deben cumplir con los principios de energía de deformación elástica, cada una de estas ecuaciones es la resultante de variables como, N, V, M y T, aplicándola de forma gradual desde cero hasta otro intervalo, en los trabajos virtuales se efectúa el análisis de la estructura en este sistema luego se resuelve el sistema real, esto corresponde que las cargas internas son, n, v, m y t. un cuerpo estudiado de forma virtual sometido a una condición general cumple con esta ecuación.

MÉTODO DE LAS FUERZAS APLICADO EN EL CÁLCULO DE ARMADURAS.

       Los trabajos virtuales también se aplican a armaduras o estructuras irregulares, para determinar los desplazamientos de un nodo, para ejemplificar este procedimiento explicaremos la conservación de la energía para el desplazamiento de un punto A en una armadura, esta posee cargas reales P1 y P2, para simplificas supondremos que los miembros tiene un área A constante, y que la carga n virtual y la N real son constantes en toda la longitud de los miembros, resultando que el trabajo virtual, con cargas axiales es; 

Y por consiguiente la ecuación de trabajo virtual para el cálculo de desplazamientos en armaduras resulta.

1= Carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nodo de la armadura, en dirección establecida de ∆.

∆= Desplazamiento del nodo causado por las cargas reales sobre la armadura.

n= Fuerza virtual interna en un miembro de la armadura causado por la carga unitaria virtual externa.

N= Fuerza interna de un miembro de la armadura causada por las cargas reales.

L= Longitud del miembro.

A= Área transversal de un miembro.

E= Modulo de elasticidad de un miembro.

La carga unitaria virtual externa genera las fuerzas n virtuales internas que se desplazan dentro de los elementos estructurales, al aplicar las cargas reales producen que el nodo se desplace ∆ en la misma dirección de la carga unitaria virtual, todos los miembros sufren un desplazamiento NL/EA en la misma dirección de su fuerza n respectivamente. El trabajo virtual externo 1*∆ es igual al trabajo virtual interno o energía de deformación interna.

DESPLAZAMIENTOS ORIGINADOS POR CAMBIOS DE TEMPERATURA.

Los miembros de una armadura pueden cambiar de longitud por los cambios de temperatura debido a el compuesto del material y a la dilatación térmica, α el coeficiente de dilatación térmica de un elemento, originados por los cambios de temperatura ∆T, y el estiramiento o contracción de miembro cambiante se expresa, ∆L = α*∆T*L, con esto se puede determinar los desplazamientos de los nodos causado por las variaciones en la temperatura.

ANÁLISIS Y APLICACIÓN DEL TRABAJO VIRTUAL.

El método de trabajo virtual se aplica para el cálculo de los desplazamientos de cualquier nodo en una armadura.

Fuerzas virtuales:

• Se posiciona la carga unitaria virtual en el nodo de la armadura a la cual se le quiere hallar el desplazamiento, esta fuerza debe tener la dirección de la línea de acción del desplazamiento.
• Al estas la carga unitaria en el punto, se quitan las cargas externas reales para realizar un estudio virtual, y calcular la fuerza n interna de cada uno de los miembros suponer las fuerzas de tracción positivas y las de compresión negativas.

Fuerzas reales:

• Determinar las fuerzas internas reales de cada uno de los miembros, suponer que las fuerzas de tracción son positivas y las de compresión negativas.

 Ecuaciones de trabajo virtual:

• Aplicar la ecuación de trabajo virtual para determinar los desplazamientos que desea determinar, es importante conservar es signo algebraico de cada una de las fuerzas n y N.
• La suma resultante nNL/AE, es positiva el desplazamiento ∆ va en la misma dirección de la carga unitaria, de lo contrario si es negativo va en dirección opuesta.
• Las temperaturas variable, 1*∆ = sumatoria nα∆TL, se debe tener en cuenta que cuando los miembros sufren un aumento de temperatura será positivo y si sufren una disminución serán negativos.

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